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第1第2式可视为三角函数 cos 战 sin 与1相 乘的

 日期:2019-09-15    访问次数:

  傅里叶系数的推导_理学_高档教育_教育专区。傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数正在数论、组合数学、信号处置、概率论、统计学、暗码学、声学、光学等范畴 都有着普遍的使用,这忍不住让人寂然起敬。一打开《信号取系统》、《锁相环道理》等册本, 动不动就跳

  傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数正在数论、组合数学、信号处置、概率论、统计学、暗码学、声学、光学等范畴 都有着普遍的使用,这忍不住让人寂然起敬。一打开《信号取系统》、《锁相环道理》等册本, 动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”,弄一长串公式,让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式: 不客套地说,这个公式能够说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”,并且来历相当蹊跷, 不知阿谁傅里叶什么时候灵光乍现,把一个周期函数 f(t)硬生生地写成这么一大堆工具。单看 阿谁①式,就是把周期函数 f(t)描述成一个系数 a0、及 1 倍 ω 的 sin 和 cos 函数、2 倍 ω 的 sin 和 cos 函数等、 n 倍 ω 的 sin 和 cos 函数等一系列式子的和, 到 且每项都有分歧的系数, 即 An 和 Bn,至于这些系数,需要用积分来解得,即②③④式,不外为了积分便利,积分区间一 般设为[-π, π] [ π],也相当一个周期 T 的宽度。 可否从数学的角度推导出此公式, 以使傅里叶级数来得大白些, 让我等能领会它的宿世 呢?下面来细致注释一下此公式的得出过程: 1、把一个周期函数暗示成三角级数: 把一个周期函数暗示成三角级数: 起首,周期函数是客不雅世界中周期活动的数学表述,如物体挂正在弹簧上做简谐振动、单摆振 动、无线电电子振荡器的电子振荡等,大多能够表述为: f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里 t 暗示时间,A 暗示振幅,ω 为角频次,ψ 为初相(取调查时设置原点相关)。 然而,世界上很多周期信号并非正弦函数那么简单,如方波、三角波等。傅叶里就想,可否 用一系列的三角函数 An sin(nωt+ψ)之和来暗示阿谁较复杂的周期函数 f(t)呢?由于正弦函数 sin 能够说是最简单的周期函数了。于是,傅里叶写出下式:(关于傅里叶推导纯属猜想) 这里,t 是变量,其他都是。取最简单的正弦周期函数比拟,5 式中多了一个 n, 且 n 从 1 到无限大。这里 f(t)是已知函数,也就是需要分化的原周期函数。从公式 5 来看,傅 里叶是想把一个周期函数暗示成很多正弦函数的线性叠加, 这许很多多的正弦函数有着分歧的幅 度分量(即式中 An)、有分歧的周期或说是频次(是原周期函数的整数倍,即 n)、有分歧的初 相角(即 ψ),当然还有一项项(即 A0)。要命的是,这个 n 是从 1 到无限大,也就是是 一个无限级数。 该当说,傅里叶是一个天才,想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周 期函数弄成这么一个复杂的暗示式。但傅里叶认为,式子左边一大堆的函数,其 实都是最简单的正弦函数,有益于后续的阐发和计较。当然,这个式可否成立, 环节是级数中的每一项都有一个未知系数,如 A0、An 等,若是能把这些系数求出来, 那么 5 式就能够成立。 当然正在 5 式中, 独一已知的就是原周期函数 f(t),那么只需用已知函数 f(t) 来表达出各项系数,上式就能够成立,也能计较了。 于是乎,傅里叶起首对式 5 做如下变形: 如许,公式5就能够写成如下公式6的形式: 这个公式6就是凡是形式的三角级数,接下来的使命就是要把各项系数 an 和 bn 及 a0 用已 知函数 f(t)来表达出来。 2、三角函数的正交性: 三角函数的正交性: 这是为下一步傅里叶级数展开时所用积分的预备学问。一个三角函数系:1,cosx , sinx , 一个三角函数系: 一个三角函数系 若是这一堆函数( cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 若是这一堆函数(包罗 1)中任何两个分歧函 数的乘积正在区间[ π]上的积分等于零 就说三角函数系正在区间[ 上的积分等于零, π]上正交 上正交,即有如 数的乘积正在区间[-π, π]上的积分等于零,就说三角函数系正在区间[-π, π]上正交 下式子: 以上各式正在区间[-π, π] [ π]的定积分均为 0,第1第2式可视为三角函数 cos 和 sin 取1相 乘的积分;第 3-5 式则为 sin 和 cos 的分歧组合相乘的积分式。除了这 5 个式子外,不成能再有 其他的组合了。留意,第 4 第 5 两个式中,k 不克不及等于 n,不然就不属于“三角函数系中肆意两 个分歧函数”的定义了,变成统一函数的平方了。但第 3 式中,k 取 n 能够相等,相等时也是二 个分歧函数。下面通过计较第 4 式的定积分来验证其准确性,第 4 式中二函数相乘能够写成: 可见正在指定[-π, π] [ π]的区间里, 该式的定积分为 0。 其他式也可一一验证。 3、函数展开成傅里叶级数: 函数展开成傅里叶级数: 先把傅里叶级数暗示为下式,即⑥式: 对⑥式从[-π, π] [ π]积分,得: 这就求得了第一个系数 a0 的表达式,即最上边傅里叶级数公式里的②式。接下来再求 an 和 bn 的表达式。用 cos(kωt)乘⑥式的二边得: 至此,曾经求得傅里叶级数中各系数的表达式,只需这些积分都存正在,那么⑥式等号左侧所 暗示的傅里叶级数就能用来表达原函数 f(t)。上述过程就是整个傅里叶级数的推导过程。现实 上,若是可以或许写出⑥式,不难求出各个系数的表达式,环节是人们不会想到一个周期函数竟然可 以用一些简单的正弦或余弦函数来表达, 且这个表达式是一个无限级数。 这当然就是数学家傅里 叶的天才之做了,我等只要拼命理解的份了。 综上,傅里叶级数的发生过程能够分为以下三步: 综上,傅里叶级数的发生过程能够分为以下三步: 设想能够把一个周期函数 f(t)通过最简单的一系列正弦函数来暗示, 5 式; 通过最简单的一系列正弦函数来暗示, 1、 设想能够把一个周期函数 f(t)通过最简单的一系列正弦函数来暗示 即 cos)来暗示; 2、通过变形后用三角级数(含 sin 和 cos)来暗示; 通过变形后用三角级数( f(t)的积分式来表达 的积分式来表达; 3、通过积分,把各未知系数用 f(t)的积分式来表达; 通过积分, 个表达式就是傅里叶级数公式。 4、最初获得的 4 个表达式就是傅里叶级数公式。 正在电子学中, 傅里叶级数是一种频域阐发东西, 能够理解成一种复杂的周期波分化成曲流项、 基波(角频次为 ω)和各次谐波(角频次为 nω)的和,也就是级数中的各项。一般,跟着 n 的增大, 各次谐波的能量逐步衰减, 所以一般从级数中取前 n 项之和就能够很好接近原周期波形。 这是傅里叶级数正在电子学阐发中的主要使用。